「数学と芸術における美の脆弱性」

サラ・ジョーンズ・ネルソンとエンリコ・ボンビエリ

ニュージャージー州プリンストンの高等研究所数学部の後援による共同研究

Art in the Life ofMathematiciansに掲載されました

AnnaKepesSzemerédi、編集者、American Mathematical Society:Providence、ロードアイランド、2015年


 

数学には美しさがありますか?質問は、数学的対象とそれらの関係、検証可能な証明の本当の主題に関するものです。数学者は一般に、美しさは定理と証明の構造的な美しさの中に存在し、主に数学者自身にしか見えず、数学の美しさでは誰もが芸術と自然の中で見ることができることに同意します。反駁できないほど美しいパターンは、モザイクタイルの要素とオブジェクトの関係から普遍的に現れます。たとえば、風景画、流れる川、松ぼっくりと貝殻のらせん状の対称性などです。物理的な形成の数学的パターンは、その要素の変化によって変わらない美しさの感覚をあなたに与えます:普遍性、対称性、単純さ、優雅さ、そして力。

 

芸術における美の批評は、文化によって時間とともに変化する相対的な判断基準に依存しているため、脆弱です。ライプニッツにとって、これは事実の真実と批判的な意図を反映する推論の真実の違いを説明しました。啓蒙主義後期まで、カントによる形式的な区別は、美しい物体としての自然の美しさの認識と、物体の美しい表現としての芸術的な美しさの認識との間で理解できませんでした。彼の時代の伝統では、カントは自然と芸術におけるプロポーションの古典的なギリシャの理論を使用して、美の事実の真実に対する彼の信念を検証しました。しかし、ヒュームの事実、価値観、味覚の分析は、スピノザの倫理理論と羨望や愛などの感情と組み合わされて、強い感情の内面の生活を批判的な判断の永続的な規範にしました。これは、芸術は光学的真理と事実の美しさを統合する自然の鏡であるというルネサンスの考えを覆しました。これは、アルベルティの新しい遠近法の数学で最初に示されました。真実、美しさ、道徳的善の古典的なギリシャの統一-ブルネレスキ、ジョット、レオナルド、ミケランジェロなどの志を同じくする現実主義者のためのプラトニックな比喩-は、抽象的で後期の現代美術における美の道徳的判断や批評と大きく矛盾します。

 

レオン・バッティスタ・アルベルティは、教皇庁の哲学者および略語または秘書でした。彼は最初に、De pictura (1435)と、一般的なDella pittura (1436)で1点透視法を形式化しました。アルベルティはフィレンツェで建築家フィリッポブルネレスキと協力しました。ローマでは、神聖比例論(1509)で、ミラノのレオナルド・ダ・ヴィンチと数学者兼共同研究者であるルカ・パチョーリと協力しました。ブルネレスキは数学で特許を取得し、フィレンツェの数学者、天文学者、宇宙誌学者、コロンバスの顧問であるパオロダルポッツォトスカネッリに師事しました。パチョーリはおそらく、画家、数学者、そしてデ・プロスペクティバ・ピンゲンディ(1474)の理論家であるピエロ・デラ・フランチェスカの学生でした。この論文は、彼の精巧に対称的なブレラ祭壇画(1472-1474)を、彼の聖アントニオの祭壇画(c.1470)とほとんど同じ方法で形式化したものです。レオナルド氏によると、3次元空間の2次元表現である絵画的視点は、物理学と数学の確実性に基づいており、常連客に依頼することで、すべての学習システムに好まれる哲学と芸術のルールになりました。トロンプ・ルイユの味わい

 

芸術と数学におけるプラトニズムのリアリズムの驚くべき連続性は、数、幾何学、およびすべての数学が、感覚や物理的現実から逆説的に独立したオブジェクトまたは純粋な形の絶対的な領域から明らかにされるという広く信じられている信念にまで及びます。プラトニストの見解では、数学者は黄金比などの既存のオブジェクトを発見します。一方、形式主義者は、特定の文化の材料から作られた数学的対象の建築家やビルダーのような証明を発明して構築します。ほとんどの数学者は日曜日のプラトニストであり、平日は形式的な方法で働いています。多くの人々は、豊富なプラトニズムの世界で、かつてはプラトンに普遍的だった、客観的に区別された有効な数学的システムの多くを利用しています。

 

黄金比φは、ルネサンス美術の基本的な隠された構造を表現する単純なオブジェクトです。ユークリッド幾何学では、φは正五角形の辺に対する正五角形の辺の比率です。現代の数学では、φは1に5の平方根を2で割ったものに等しくなります。

黄金比の特性は、プラトンが純粋な形の領域から明らかにされ発見された既存のオブジェクトから発せられると主張して以来、魅力のトピックである数字5に深く関係しています。歴史家のアンネマリー・シンメルは、 Das Mysterium der Zahlの英語版、 The Mystery of Numbers (1983)で、古代の5番とカバラの知識の神秘的な五芒星との関連を記録しました。創世記1章27節の外典の変種は、5番が2番と3番の結合から始まり、1は神と物理的現実の統一を象徴する、女性と男性の最初の形態を象徴する宇宙のエデンの始まりを説明しました。

 

5の構造は、自然や芸術のいたるところに現れます。たとえば、黄金比の比率は、特定の植物や花の5回対称性ではっきりとわかります。レオナルドのウィトルウィウス人(1490)は、人体自体が黄金比を自然のメタファーとして表現し、デザインの対称性と比率のモデルとして表現している星五角形であることを示唆しています。ピエロの作品は、輪郭と比率を判断するための彼の基準であるコメンスラツィオーネの線形幾何学で5つ折りの構造を表現しています。の祭壇画 セントアンソニーは、5つの垂直方向のスペースに中央の細分化があり、5つのセクションに垂直方向の細分化があります。ブレラ祭壇画は、左側に3人の聖人と2人の天使、右側に2人の天使と3人の聖人を提示し、対称性を完成させます。右側の部分的に装甲された後援者である、ウルビーノ公爵のフェデリゴ・ダ・モンテフェルトロは、対称性を壊す強い緊張の要素を与えています。このようにして、ピエロは、公爵がひざまずき、祈りを捧げ、あなたの視線を聖母と彼女の幼い息子に向ける調和のとれた平衡を取り戻します。ピエロによるもう1つの有名な絵画、キリスト降誕(c.1470)は、壊れやすい子供が左側を5人の天使に囲まれ、2人の羊飼い、聖ヨセフ、右側に尻と牛が背景を描いて歌い、リュートを演奏しているのを示しています。この非対称性の傑作。崇拝の聖母と頂上の聖霊の神秘的な鳩は、謙虚さのこの優しいイメージを完成させます。数学的にさらにエレガントなのは、彼のマドンナデルパルト(1460年頃)で、五角形のテントで輪郭を描かれた妊娠中の聖母のパラドックスが特徴です。ピエロは、彼の作品が、形式主義と数学的分析を統合した象徴的な言語で聖書の物語の要素を表現することを意図していました。実用的な技術の達人である彼は、単なる予知にとどまることはなく、偶然に何も残しませんでした。

 

黄金比は単純な古代のオブジェクトであるだけではありません。 φはまた、現代数学の形成において深い役割を果たしています。有理数から最も遠い1から2までの無理数として、ゴールデンレシオは1から2までの一意の数であるという特性を持ち、有理数pによって与えられた近似に達するために分母qの最大値を必要とします。 qで割った値。黄金比の2つの驚くほどエレガントな公式を引用します。最初の例では、φは1の平方根+1の平方根+1の平方根に等しく、ネストされた構造では無限大になります。 2番目の例では、φは1を1で割った値+1を1で割った値+1を1で割った値に等しくなります。ネストされた構造では無限大になります。 2番目の式は、黄金比の極端な非合理性を証明するための最初のポイントとして、2つのうちでより興味深いものです。

 

ピサのレオナルド(フィボナッチと呼ばれる)にちなんで名付けられたフィボナッチ数列は、黄金比を美しい精度で表現します。フィボナッチは最初に算盤の書(1201)でそれを発表しました。彼は父親のためにアルジェ近くの税関で働き、地中海の交易路に沿ってイスラム教徒の数学者に師事し、中世ヨーロッパで最も有名な数学者になりました。フィボナッチ数列は、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、です。 。 。無限大まで。最初の2つ以降の各数値は、先行する2つの数値の合計です。それは黄金比に最良の合理的な近似を与えます。分数 Fn + 1 / Fn  φにどんどん近づいていきます。フィボナッチ数列は、黄金比でも表されます。

  

         

ユークリッド幾何学と黄金比は、数学の歴史の中で最も初期の美の基盤を形成しています。ユークリッドがElementsを書いた2千年以上後の、1899年に、数学者のフランク・モーリーがユークリッド幾何学の最後の真に新しい定理を発見したと想像してみてください。モーリーの定理は、任意の三角形の角度の三等分線が交わる3つの点が正三角形の頂点であると述べています。綺麗な!モーリーの定理のような結果が古典的なユークリッド幾何学で決して起こらなかった理由をあなたは尋ねるかもしれません:おそらく古典古代のギリシャ人がユークリッド構造を使用して角の三等分を得ることができなかったからです。今日、数学者は、平面ユークリッド幾何学の枠組みの中で角の三等分を行うことはできないことを知っています。彼らは、この「否定的な」結果は、順列群に関する深遠な結果によって得られた、代数方程式の解像性に関するガロア理論(1832)の美しい結果であると考えています。したがって、かつてはユークリッド幾何学の欠点であった可能性があり、その文脈でモーリーの定理を証明することは不可能でしたが、今では幾何学、論理、および対応する対称性の形成に関する知識を強化する美しい発見です。

 

黄金比の歴史から、それがすべての数学の基本的な柱であると推測できるかもしれません。しかし、ラプラス方程式 Uxx + Uyy + Uzz = 0  はるかに重要です。何度も何度も、それは分析、確率、数理物理学、天体物理学、化学、さらには金融工学においても現れます–実際、システムの平衡状態を含むすべての場合において。それは、例えば、因果関係に関する哲学において、数学と深く開かれた質問との強力な関連性を美しく表現しています。ラプラスのMécaniquecéleste (1829)は、決定論が物理的現実の避けられない状態のように見える点まで、ニュートン力学と微分計算を開発します。力を知り、特定の時間における宇宙の各粒子の位置と速度、宇宙の状態を知る後でいつでも一意に決定されます。したがって、ラプラスでは、チャンス、自由行動、または代理店は、自然の真の法則についての因果関係のフィクションです。しかし、彼の方程式は単なる数学モデルです。それは正しいですか、それともそれからそのような抜本的な哲学的結果を引き出すために、または自然の法則が新しい発見によって決して改訂されていないことを示唆するためにエレガントですか?

 

さて、量子論の出現により、ラプラスのシステムは観測可能な宇宙のすべてのメカニズムを説明できるわけではないことがわかりました。量子力学では、宇宙の状態は、ラプラス方程式の近縁であるシュレディンガー方程式を満たす波動関数ψによって与えられます。シュレディンガーの場合も、ψの展開は決定論的です。波動関数を一度に知ると、後で一意に決定されます。ただし、波動関数は、観測結果の確率のみを表します。量子論の定式化からほぼ1世紀後、その有効性の領域についてはまだコンセンサスがありません。おそらく、それは古典力学と、科学と社会の基盤における自然のプロセスと人間の行動はによって決定されるという強い見解と矛盾するためです。原因と結果の過去の単純なメカニズム。しかし、驚くほど複雑で、美しい新しい証拠、またはルネッサンスのあふれんばかりのリアリズムのように未決定のものを生み出す行動は、固定法によって事前に決定された宇宙にどのように現れることができますか?

 

数学は自然の法則、人間の感情、芸術に内在しているという見方は、アルブレヒト・デューラーの最も有名な彫刻であるメランコリアI (1514)に見事に示されています。宇宙の影の形を熟考する神託のように、翼のある女性が暗く内側を見つめているその中心的なイメージは、古典ギリシャ医学と4つの体液または気質の分析からの近世の比喩であるメレンコリアイマジナティバを象徴しています。彼女は芸術の天才と深い数学的現実を擬人化しています。球は完全な有限の宇宙の前景です。多面体である切り捨てられた菱面体は、半正多面体の記述幾何学を表します。アストロラーベと象限は、空間と時間の尺度を示唆しています。ルネサンスの哲学者マルシリオ・フィチーノは、翼の先端にある微妙な4 x 4の整数の魔方陣は、フィボナッチ数を表しており、悪を善に変え、不安を打ち負かす自然の隠された数学的秩序の兆候であると述べています。魔法の最後の列の中央にある日付1514  四角、  祝う NS  完了  これ 傑作。  デューラー、  NS  ドイツの芸術家であり、視点と比率に関する論文の数学者であり、彼の理論化するイタリアの同時代人と、ヨーロッパ改革に革命をもたらした芸術哲学と内面の神学を共有しました。


デューラーの内面のイメージは、音楽にさえ情報を与える数学的真理の逆説的な喜びを予測しています。バッハ協奏曲やモーツァルトソナタがどのように現実の認識を深めるかについてのあなたの経験を考えてみてください。ピタゴラスが最初に示したように、音楽の構造は数学的なものです。つまり、音楽から芸術、さらには文化的および自然淘汰、さらには宇宙の始まりにおける物質の対称的な形成を説明する宇宙論に至るまで、数学の耐久性のある対象があります。

 

物質の対称的な形成は、数学の美しさを表しています。グループの概念は、数学の対称性を表します。グループとは何ですか?具体的または抽象的なオブジェクトを検討してください。オブジェクトの対称性(数学的には自己同型)は、オブジェクトをそれ自体にマッピングすることであり、そのすべてのプロパティを保持します。 1つがもう1つ続く2つの対称性の積も対称性であり、すべての対称性にはそれを元に戻す逆関数があります。正方形の対称性は、90度回転させるか、縦軸に反射させることで得られます。数学者は、リー群(リーと発音)を、数学の大部分、および物理学にとっても美しい継続的な基盤であると考えています。連続リー群の他に、非連続の有限群と離散群があります。いくつかは、有限または離散設定に縮小することによってリー群から取得できます。

 

インテリアデザインの迷宮に勇敢に立ち向かう人なら誰でも、平行四辺形、六角形、三角形、長方形、正方形、ひし形のさまざまな回転軸と反射軸での格子タイプの数学的なタイリングの壁紙の恐ろしい対称性を知っています。周期的である格子タイルとは異なり、ペンローズタイルと呼ばれる非周期的な自己相似準結晶タイルもあります。これは、発見者である数学者で物理学者のロジャーペンローズにちなんで名付けられました。異なる格子タイプの数は有限ですが(正確に17種類存在します)、異なるペンローズタイルの連続体があります。しかし、自己相似性により、特定のペンローズタイルのすべての部分が、他のすべてのペンローズタイルに無限に何度も表示されます。  ペンローズタイルは、そのスペクトル特性が点状であり、天然結晶の点状のX線回折パターンに似ているため、数学者にとって大きな驚きでした。

 

さらに驚くべきことは、準結晶が特定の金属の非周期的合金の5回対称として自然界に存在するという、ダニエル・シェヒトマンによるノーベル賞を受賞した発見でした。準結晶の発見者の1人である物理学者PaulSteinhardtは、ペンローズタイルと中世初期のイスラムモザイク、またはギリフタイルとの驚くべき類似性とのつながりを美しく示しています。ペンローズの6世紀前に、イスラムの芸術家や建築家が五角形と十角形のモチーフ、時代を超越した芸術の壊れやすい美しさを表現する部分的な五角形の対称性のタイルを導入したと想像してみてください。数学におけるこれらの抽象的な微妙さは、ギリフやペンローズタイルなどの自然や芸術作品を説明するためのツールであり、黄金比、五角形、星形五角形にリンクされた正確な形状の2つの基本的な菱形タイル(幅が狭いものと幅が広いもの)で簡単に作成できます。 。数学的な記述ツールは、他の方法では隠されている自然界の普遍的な構造、黄金比、星の五角形を見るのに役立ちます。それぞれが純粋数学から抽象芸術までの社会的抽象化において形式的な精度の基準を生み出します。

 

正方形や立方体の対称性のような対称性の有限群は、数学者がすべての有限単純群の分類に成功するまで、長い間分類に逆らいました。分類定理は、今日3,000ページ以上を実行し、100人以上の数学者の集合的な努力の40年以上を要したことの証明です。この定理は、有限群の理論に秩序をもたらします。単純群は、すべての有限群が構築される一種の礎石であるため、重要です。たとえば、15辺のポリゴンの回転のグループは、120度の回転と72度の回転を組み合わせて取得でき、後者は単純なグループを生成します。二十面体群から始まる交代群とリー型の有限群は、単純群の有限数の族を形成しますが、各群には無限に多くのメンバーがいます。古典的なリー群として、それらは基礎となる幾何学の対称性と密接に関連しています。散発的なグループとして知られているリータイプのグループとはまったく異なり、26の例外的なグループも存在します。ここでは、2つの散発的なグループが関係しています。ジョンコンウェイにちなんで名付けられたコンウェイ対称群、24次元の非常に注目に値する格子の対称性(反射まで)、リーチ格子。フィッシャー・グリースグループF1は、高等研究所を訪問しているときにRLグリースによって存在することが証明されました。数学者によってモンスターとも呼ばれるFischer-Griessグループは、最大の巨大な散発的なグループであり、

 

808017424794512875886459904961710757005754368000000000

 

要素。 26の散発的なグループのうち21が内部に含まれており、コンウェイグループもその1つです。 196883 + 1 = 196884の奇妙な数秘術からのまったく予想外の展開により、196883はモンスターを説明するために必要な臨界数であり、196884は別の数です– 150年前の楕円関数と保型関数の研究から–モンスターは今数学や数理物理学の多くの異なる分野との明確なつながりによって飼いならされています。数学者の粘り強い協力がモンスターF1を飼いならすのは美しいことではありませんか?

 

強力なピアレビューの脆弱なプロセスから、検証可能に真実で美しいものについてのコンセンサスまで、数学の美しさについてはさらに多くのことが言えます。数学で最も単純なもの、つまり、数列1、2、3、。 。 。すべての数学が命を落としたところから、それ自体の中に深い謎、シーケンス2、3、5、7、が含まれています。 。 。乗算の構成要素を形成する素数の。数学者はすでに素数の性質の間の美しい関係を明らかにしており、中にはしっかりと確立されているものもあります。しかし、最も重要な関係は依然として推測であり、分析、幾何学、さらには物理学においても未解決の問題を提起しています。ここにさらに住むことは私たちの現在の範囲を超えるので、数学を論理と哲学に結び付ける有名な構造で美しい例のリストを完成させます。

 

数学者は常に美しい証拠を探しており、何かが真実であることを知っているだけでは決して満足しません。彼らはなぜそれが真実なのか知りたがっています。ゼノのようなギリシャの哲学者の間の古代の論争の源である連続体、無限分解可能性から生じる彼のパラドックスを取り上げてください。ゲオルク・カントールは、連続体の正確な数学的定義を示しました。これは、整数として10進表記で記述され、その後に無限の10進数字のシーケンスが続く、すべての数値の合計であるという私たちの素朴な見方を反映しています。 (Cantorの定義は、エウドクソスの数の概念に非常に近いものです。)

 

カントールは、連続体の数えられないというカントールの定理として知られる有名な対角論を生み出しました。この強力で単純な証明は、連続体、つまり0から1までのすべての実数を、1番目、2番目、3番目などとしてリストにリストできないことを示しています。したがって、連続体は数えられません。反例によって、それが無限リストで可算であると仮定します。

0.643546675432534645600112。 。 。

0.100053453647545546043860。 。 。

0.000000000000100004534237。 。 。

0.999999999961045674732017。 。 。

0.222955600333054564501179。 。 。

0.141592653589793238462643。 。 。

0.777777777777777777777777。 。 。

0.421047542507075505555001。 。 。

0.777777771777777777777777。 。 。

0.777777777177777777777777。 。 。

0.010010001000010000010000。 。 。

0.099999999999999900000000。 。 。

 

対角マーカーは0.600952741109です。 。 。 、 n番目の数値のn番目の桁。対角番号の各桁を変更すると、結果をどの行にも含めることはできません。したがって、リストには含まれていません。美しい証拠!どうして?さまざまな種類の無限大があることが普遍的に証明されているため、正の整数1、2、3、...の無限大。 。 。そして連続体0_______1の無限大。直感的には、直線などの連続体の無限大とは異なる離散的な無限大が存在することを示しています。カントールの対角論はこの定理に限定されません。それは、数理論理学、無限大の性質、およびコンピューターサイエンス、複雑さの性質においても強力なツールになりました。ユークリッド幾何学に対するカントールの定理の驚異的な数学的結果を考えてみてください。哲学的な結果は、形而上学の真の知識が可能であるというヒュームの否定に反論する分析と先験的な総合的判断の基礎を取り返しのつかないほど揺るがしました。

 

Cantorは、正の整数の可算無限大が連続体の無限大よりも小さいことを示しました。有名な連続体仮説は、可算無限大よりも大きく、連続体の無限大よりも小さい無限大は存在しないという主張です。  技術的な状況は次のとおりです。  ゲーデルは、連続体仮説が集合論の公理から反証できないことを証明しました。ポール・コーエンはそれが証明できないことを証明しました。したがって、連続体仮説は集合論の公理から独立しています。証明も反証もできません。哲学的な結果は、連続体仮説の真理値が不確実であるか、せいぜい未定義であるということです。カントは、ユークリッド幾何学の公理が真実であると信じていました。しかし今では、非ユークリッド幾何学もあることがわかりました。さらに、ジョン・コンウェイは、集合論の公理に従わない、解決できない単純な数学的主張があることを示唆しています。では、数学の真理とは何でしょうか。ユークリッド幾何学の公理が真であるかどうかを知ることと、連続体仮説が真であるかどうかを知ることとの間に根本的な違いはありますか?いずれの場合も、真実は本質的に脆弱であり、矛盾がないことで特定されるべきではないことがわかります。

 

公理的推論と構築はそれぞれ異なる種類の脆弱性を持っています。建設主義者と直観主義者は何ができるかについて強い制限を課しますが、公理的推論はそれを構築する方法のないオブジェクトの存在を示すだけかもしれません。つまり、公理的推論は、オブジェクトが存在しないという仮説が矛盾につながることを示している可能性があります。カントールの対角論は、連続体がリストできないことを証明しています。しかし、連続体の構造については何も述べていません。また、構成主義は建設的な推論が正しいと主張します。しかし、大多数の数学者の慣習は、非構成的公理的推論を使用してから、単に好みの問題である可能性のある構成の可能性を調査することです。

 

ヒュームは、美的快楽の最高の善としての美の認識における主題、つまり自己の役割を告げる味覚の懐疑的な予言者でした。フロイトが快楽原則を人間の意図の固定された規範にするずっと前に、ヒュームは美的快楽を感覚の証拠で検証された美の基準にしました。しかし、美と真実を知覚する前のカントの物体の美学は、物理的現実と非物理的現実の間の関係を修正しました。  プラトニストのカントは、それ自体が、数学的真理と純粋な形而上学的な形や物体の明らかにされた発散を美にした。それがプラトンの純粋な形の領域からの啓示であるならば、美としての真実はどのように検証されるべきでしょうか?感覚のどのような証拠について、あなたは啓示を確認しますか?そして、感覚は確実に検証可能ですか?美しさの知覚は、痛みを回避または抑制する喜びへの願いの単なる投影ですか?実際の数学的オブジェクトは物理的ですか?実際のオブジェクトとは何ですか?真理の数学的検証は、それが発見されたため、またはそれが人間の作品の文化と文化的選択の脆弱なプロセスから発明されたために、物理的現実に関与していますか?証拠は、美しい物体の神秘的な領域で発見された純粋な形の外観を本当に保存しますか?

 

芸術、詩、音楽、歴史における類似の質問は、人間の作品と人間の価値の形成におけるその深い個人的な役割のために、美しさの問題を知らせます。数学者は詩人や画家のように働きます。違いは、問題を見ている数学者の部屋が、コンセンサスを重視し、必要とするコミュニティ内で同じ答えを得るということです。個人による数学的対象の構築は脆弱です。ただし、これらのオブジェクト自体は、ピアレビューとコンセンサスの永続的な社会的規範のために堅牢です。詩人、画家、音楽の作曲家のように、数学者は独自のスタイルとテクニックを持っています。しかし、数学的真理は単なる定理の集まりではなく、絵画は単なる顔料の集まりにすぎません。数学者にとって、タルスキが証明したように、定理は確立された真理であり、検証のコンセンサスにつながる証明の脆弱な構築によって得られます。脆弱な構築から堅牢な検証までのプロセスは、数学コミュニティの社会的規範を説明するだけではありません。また、証明の数学的対象間の関係が徐々に識別されることも示しています。

 

数学者は、時には無意識のうちに、ウィトゲンシュタインのアスペクトの概念、つまりオブジェクトの内部関係の時間的知覚を数学の本質的な部分として受け入れる傾向があります。これは、オブジェクトまたは証明の間の関係の特定の側面、要素、またはプロパティが、絵画を見るときにオブジェクトの関係の側面が変化する傾向があるように、知覚の変化する光の中で不確定に展開するためです。詩、交響曲、絵画、または時間に固定された物語は決して変わりませんが、テキストを読んだり、音楽を聴いたり、芸術を見たりする方法は、感情、味、または光と空間の角度の時間的変化によって変化しますコンセンサスは重要ではありません。歴史家は、事実分析の対象と関係として脆弱な歴史的真実についての確固たるコンセンサスを重視しているにもかかわらず、真実を伝える歴史は、学術的表現の出来事の美しさや良さに関係なく行われます。詩が今では美しく、あるいは必ずしも真実であると書かれることはめったにありませんが、形式的な側面の分析とは別に、詩によって物事が変化する方法についての強力な言語前の意識を満たすために書かれています。キーツを引用して、

 

「美しさは真実、真実の美しさ、それだけです

          あなたがたは地上で知っている、そしてあなたがたはすべて知る必要がある。」

Screen Shot 2021-10-14 at 6.57.43 PM.png
Screen Shot 2021-10-14 at 7.17.17 PM.png
Screen Shot 2021-10-14 at 7.20.43 PM.png